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घात, घातांक और करणी (Powers, Exponents & Radicals)
शून्य से शिखर: कक्षा 6 से 10वीं NCERT, State Boards एवं BPSC TRE, CTET, SSC प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए संपूर्ण 12 कोर अवधारणाएँ, 20+ नियम, सामान्य भ्रांतियाँ एवं 120 हल सहित अभ्यास प्रश्न।
कक्षा 6–10 NCERT
BPSC TRE 1.0/2.0/3.0
CTET Paper 2
120 Solved Questions
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1. चर, अचर, आधार व घातांक
2. समान आधार पर गुणा व भाग
3. घात पर घात व टॉवर ऑफ़ पावर्स
4. भिन्न आधार व समान घातांक
5. शून्य घातांक ($a^0=1$) व $0^0$ का रहस्य
6. ऋणात्मक घातांक व $-a^2$ vs $(-a)^2$
7. मानक रूप / वैज्ञानिक संकेतन
8. परिमेय घातांक एवं मूल ($n$-th Root)
9. करणी की परिभाषा, कोटि एवं प्रकार
10. करणियों की संक्रियाएँ एवं तुलना
11. हर का परिमेयकरण व द्विपद वर्गमूल
12. घातांकीय समीकरण व अनंत करणी
📊 संपूर्ण फॉर्मूला मास्टर शीट
⚠️ 10 सबसे बड़ी गलतियाँ व Traps
∑
📊 संपूर्ण फॉर्मूला मास्टर शीट (Complete Formula Reference)
सभी 20 मूलभूत एवं उन्नत सूत्र, उनके नाम तथा अनिवार्य सीमांत शर्तें
| क्र. | सूत्र (Formula) | नियम का नाम (Rule Name) | अनिवार्य शर्तें व सीमाएँ (Conditions) |
|---|---|---|---|
| 1 | $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ | Product Rule (गुणन नियम) | आधार समान ($a$) होना अनिवार्य है |
| 2 | $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ | Quotient Rule (भाग नियम) | $$a \neq 0$$ |
| 3 | $$(a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m$$ | Power of a Power | $$(a^m)^n \neq a^{m^n}$$ (टॉवर ऑफ़ पावर्स) |
| 4 | $$a^n \times b^n = (ab)^n$$ | Power of a Product | घातांक समान ($n$) होना चाहिए |
| 5 | $$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$$ | Power of a Quotient | $$b \neq 0$$ |
| 6 | $$a^0 = 1$$ | Zero Exponent Rule | $$a \neq 0$$ ($0^0$ अनिर्धार्य / Indeterminate है) |
| 7 | $$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\; \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$ | Negative Exponent | $$a \neq 0, b \neq 0$$ |
| 8 | $$(-1)^n = \begin{cases} +1, & n \text{ सम है} \\ -1, & n \text{ विषम है} \end{cases}$$ | Sign Rule of Powers | $$n \in \mathbb{Z}$$ |
| 9 | $$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ | Principal $n$-th Root | $$n \ge 2$$; यदि $n$ सम है तो $$a \ge 0$$ |
| 10 | $$a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$ | Fractional Exponents | $$n \in \mathbb{N}, n \ge 2, m \in \mathbb{Z}$$ |
| 11 | $$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$$ | Product of Surds | समान कोटि $$n$$ होना अनिवार्य |
| 12 | $$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$ | Quotient of Surds | समान कोटि $$n, b > 0$$ |
| 13 | $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$$ | Nested Radicals | $$m, n \in \mathbb{N}, a \ge 0$$ |
| 14 | $$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$$ | Order Invariance | $$k \in \mathbb{N}$$ (कोटि समतुल्यता) |
| 15 | $$\frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b}$$ | Rationalization | $$a \neq b, a > 0, b > 0$$ |
| 16 | $$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$$ | Surd Square Root | $$x+y=a, xy=b, x > y \ge 0$$ |
| 17 | $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots\infty}}} = x$$ | Infinite Product Surd | $$x > 0$$ |
| 18 | $$\sqrt{x\sqrt{x\dots n \text{ बार}}}} = x^{\frac{2^n - 1}{2^n}}$$ | Finite Product Surd | $$n$$ पदों तक सीमित गुणन |
| 19 | $$\sqrt{x + \sqrt{x + \dots\infty}} = \frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}$$ | Infinite Addition Surd | यदि $$x = k(k+1)$$ तो उत्तर $$= k+1$$ |
| 20 | $$\sqrt{x - \sqrt{x - \dots\infty}} = \frac{-1+\sqrt{1+4x}}{2}$$ | Infinite Subtraction Surd | यदि $$x = k(k+1)$$ तो उत्तर $$= k$$ |
01
अवधारणा 1: चर, अचर, पद, आधार, घातांक एवं घात में अंतर
Variables, Constants, Terms, Base, Exponent, Power & Degree of Polynomial
1. चर (Variable): वह प्रतीक जिसका मान विभिन्न स्थितियों में बदल सकता है ($x, y, z, a, b, t$)।
2. अचर (Constant): वह संख्या जिसका मान सदैव निश्चित रहता है ($5, -12, \frac{3}{7}, \pi, \sqrt{2}$)।
3. आधार (Base) एवं घातांक (Exponent): व्यंजक $a^n$ में $a$ आधार (Base) है और $n$ घातांक (Exponent/Index) है। यह बताता है कि $a$ को स्वयं से $n$ बार गुणा किया गया है।
4. घात (Power): संपूर्ण व्यंजक $a^n$ को '$a$ की घात $n$' (Power) कहा जाता है।
5. बहुपद की घात (Degree of Polynomial): किसी बहुपद में चर की उच्चतम घात को बहुपद की घात कहते हैं (उदा. $4x^5 + 3x^2 - 7$ की घात 5 है)।
⚠️ सामान्य गलती (Student Trap):
$3x^2$ में आधार $3x$ नहीं है, बल्कि केवल $x$ है ($3$ गुणांक है)। यदि $(3x)^2$ लिखा हो, तब आधार $3x$ होगा।
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 1):
Q1 व्यंजक $7^5$ में आधार (Base) और घातांक (Exponent) बताइए।
हल देखें (View Solution)
उत्तर: आधार (Base) $= 7$ तथा घातांक (Exponent) $= 5$ है।
Q2 व्यंजक $-5x^4$ में चर, अचर गुणांक और घातांक क्या है?
हल देखें (View Solution)
उत्तर: चर $= x$, अचर गुणांक $= -5$, और घातांक $= 4$ है।
Q3 $(4y)^3$ और $4y^3$ में क्या अंतर है? दोनों का मान क्या होगा?
हल देखें (View Solution)
उत्तर: $(4y)^3 = 4y \times 4y \times 4y = 64y^3$ (यहाँ आधार $4y$ है)।
जबकि $4y^3 = 4 \times y^3$ (यहाँ आधार केवल $y$ है और 4 गुणांक है)।
जबकि $4y^3 = 4 \times y^3$ (यहाँ आधार केवल $y$ है और 4 गुणांक है)।
Q4 बहुपद $P(x) = 5x^4 - 3x^6 + 2x^2 - 9$ की घात (Degree) ज्ञात कीजिए।
हल देखें (View Solution)
उत्तर: चर $x$ का उच्चतम घातांक $6$ है (पद $-3x^6$ में), अतः बहुपद की घात $= 6$ है।
Q5 यदि $a = 3$ और $b = -2$ हो, तो $a^2 + b^3 - ab$ का मान क्या होगा?
हल देखें (View Solution)
हल: $a^2 + b^3 - ab = (3)^2 + (-2)^3 - (3)(-2) = 9 + (-8) - (-6) = 9 - 8 + 6 = 7$।
Q6 किसी अशून्य अचर पद (जैसे 8) की घात क्या होती है?
हल देखें (View Solution)
उत्तर: $8 = 8x^0$। अतः किसी भी अशून्य अचर बहुपद की घात सदैव $0$ होती है।
Q7 यदि $2^x = 32$ हो, तो अज्ञात घातांक $x$ का मान क्या होगा?
हल देखें (View Solution)
हल: $32 = 2^5 \implies 2^x = 2^5 \implies x = 5$।
Q8 व्यंजक $\frac{3}{4}x^2y^3$ में पद की कुल घात (Degree of Term) क्या है?
हल देखें (View Solution)
उत्तर: बहुचर पद की घात सभी चरों के घातांकों का योग होती है $= 2 + 3 = 5$।
Q9 क्या व्यंजक $5\sqrt{x} + 3$ एक बहुपद है?
हल देखें (View Solution)
उत्तर: नहीं, क्योंकि $\sqrt{x} = x^{1/2}$ है और बहुपद में चर का घातांक अऋणात्मक पूर्णांक ($0, 1, 2, 3\dots$) होना अनिवार्य है।
Q10 $x^1, 1^x,$ और $x^0$ में क्या अंतर है? ($x \neq 0$)
हल देखें (View Solution)
उत्तर: $x^1 = x$, $1^x = 1$, और $x^0 = 1$ ($x \neq 0$)।
02
अवधारणा 2: समान आधार पर गुणन एवं भाग का नियम
Product and Quotient Laws for Powers with Same Base
$$\text{गुणन नियम: } a^m \times a^n = a^{m+n}$$
$$\text{भाग नियम: } \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Traps):
1. $2^3 \times 3^2 \neq 6^5$ (आधार भिन्न होने पर घातांक नहीं जुड़ते; $8 \times 9 = 72$).2. $x^2 + x^3 \neq x^5$ (घातांक केवल गुणा में जुड़ते हैं, जोड़ में नहीं).
3. $\frac{2^8}{2^2} \neq 2^4$ (भाग में घातांक घटते हैं: $2^{8-2} = 2^6 = 64$).
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 2):
Q1 सरल कीजिए: $2^5 \times 2^3 \times 2^4$
हल देखें
हल: $2^{5+3+4} = 2^{12} = 4096$।
Q2 सरल कीजिए: $\frac{7^{15}}{7^9}$
हल देखें
हल: $7^{15-9} = 7^6$।
Q3 मान ज्ञात कीजिए: $\frac{3^8 \times 3^5}{3^{10}}$
हल देखें
हल: $\frac{3^{13}}{3^{10}} = 3^{13-10} = 3^3 = 27$।
Q4 यदि $5^x \times 5^3 = 5^9$ हो, तो $x$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $5^{x+3} = 5^9 \implies x + 3 = 9 \implies x = 6$।
Q5 सरल कीजिए: $\frac{(-4)^7}{(-4)^4}$
हल देखें
हल: $(-4)^{7-4} = (-4)^3 = -64$।
Q6 सरल कीजिए: $x^a \cdot x^b \cdot x^c \cdot x^{-a} \cdot x^{-b} \cdot x^{-c}$
हल देखें
हल: $x^{a+b+c-a-b-c} = x^0 = 1$ ($x \neq 0$)।
Q7 सरल कीजिए: $\frac{2^{n+4} - 2 \cdot 2^n}{2 \cdot 2^{n+3}}$
हल देखें
हल: अंश $= 2^n(2^4 - 2) = 14 \cdot 2^n$। हर $= 2 \cdot 2^n \cdot 8 = 16 \cdot 2^n$।
मान $= \frac{14 \cdot 2^n}{16 \cdot 2^n} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$।
मान $= \frac{14 \cdot 2^n}{16 \cdot 2^n} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$।
Q8 यदि $\frac{10^x}{10^3} = 10000$ हो, तो $x$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $10^{x-3} = 10^4 \implies x - 3 = 4 \implies x = 7$।
Q9 $\frac{a^{m+n} \cdot a^{n+l} \cdot a^{l+m}}{(a^m \cdot a^n \cdot a^l)^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: अंश $= a^{2m+2n+2l}$। हर $= (a^{m+n+l})^2 = a^{2m+2n+2l}$।
परिणाम $= \frac{a^{2m+2n+2l}}{a^{2m+2n+2l}} = a^0 = 1$।
परिणाम $= \frac{a^{2m+2n+2l}}{a^{2m+2n+2l}} = a^0 = 1$।
Q10 क्या $2^3 \cdot 4^2 = 2^7$ सत्य है?
हल देखें
हल: $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$। अतः $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$। हाँ, यह सत्य है।
03
अवधारणा 3: घात पर घात का नियम एवं टॉवर ऑफ़ पावर्स
Power of a Power Rule vs Tower of Powers
$$(a^m)^n = a^{m \times n} = (a^n)^m$$
$$a^{b^c} = a^{(b^c)} \quad (\text{बिना कोष्ठक के ऊपर से नीचे हल होगा})$$
⚠️ सबसे बड़ा कन्फ्यूजन (Top Trap):
$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$$2^{3^2} = 2^{(3^2)} = 2^9 = 512$
अतः $(2^3)^2 \neq 2^{3^2}$ (64 ≠ 512).
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 3):
Q1 मान ज्ञात कीजिए: $(3^2)^3$
हल देखें
हल: $3^{2 \times 3} = 3^6 = 729$।
Q2 मान ज्ञात कीजिए: $3^{2^3}$
हल देखें
हल: $2^3 = 8 \implies 3^8 = 6561$।
Q3 $(2^2)^3$ और $2^{2^3}$ में कौन बड़ा है और कितना?
हल देखें
हल: $(2^2)^3 = 2^6 = 64$ और $2^{2^3} = 2^8 = 256$। अतः $2^{2^3}$ बड़ा है और अंतर $= 192$ है।
Q4 सरल कीजिए: $\left[(-2)^3\right]^2$
हल देखें
हल: $(-2)^{3 \times 2} = (-2)^6 = +64$।
Q5 सरल कीजिए: $\left[(-2)^2\right]^3$
हल देखें
हल: $(-2)^{2 \times 3} = (-2)^6 = +64$।
Q6 सरल कीजिए: $\left\{ \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right]^{-2} \right\}^{-1}$
हल देखें
हल: घात गुणन: $2 \times (-2) \times (-1) = 4 \implies (1/2)^4 = \frac{1}{16}$।
Q7 यदि $(4^x)^2 = 4^{3^2}$ हो, तो $x$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $4^{2x} = 4^9 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5$।
Q8 सरल कीजिए: $\left(x^{a-b}\right)^{a+b} \cdot \left(x^{b-c}\right)^{b+c} \cdot \left(x^{c-a}\right)^{c+a}$
हल देखें
हल: $x^{a^2-b^2} \cdot x^{b^2-c^2} \cdot x^{c^2-a^2} = x^0 = 1$।
Q9 मान ज्ञात कीजिए: $2^{2^{2^2}}$
हल देखें
हल: $2^2 = 4 \to 2^4 = 16 \to 2^{16} = 65536$।
Q10 क्या $\left(a^m\right)^0 = a^{\left(m^0\right)}$ समान है? ($a \neq 0, m \neq 0$)
हल देखें
हल: बायाँ पक्ष $= a^0 = 1$; दायाँ पक्ष $= a^1 = a$। दोनों समान नहीं हैं।
04
अवधारणा 4: भिन्न आधार लेकिन समान घातांक का नियम
Power of a Product and Power of a Quotient Rules
$$a^n \times b^n = (a \times b)^n = (ab)^n$$
$$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \quad (b \neq 0)$$
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 4):
Q1 गणना कीजिए: $2^5 \times 5^5$
हल देखें
हल: $(2 \times 5)^5 = 10^5 = 1,00,000$।
Q2 सरल कीजिए: $\frac{12^4}{4^4}$
हल देखें
हल: $(12/4)^4 = 3^4 = 81$।
Q3 $6^6$ को अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल देखें
हल: $(2 \times 3)^6 = 2^6 \times 3^6$।
Q4 मान ज्ञात कीजिए: $\frac{6^5 \times 10^5 \times 25}{5^7 \times 6^5}$
हल देखें
हल: $\frac{2^5 \times 5^5 \times 5^2}{5^7} = \frac{2^5 \times 5^7}{5^7} = 2^5 = 32$।
Q5 सरल कीजिए: $(-2a)^4$
हल देखें
हल: $(-2)^4 a^4 = 16a^4$।
Q6 सरल कीजिए: $\left(\frac{-3x}{2y}\right)^3$
हल देखें
हल: $\frac{-27x^3}{8y^3}$ ($y \neq 0$)।
Q7 यदि $2^n \times 3^n = 216$ हो, तो $n$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $6^n = 6^3 \implies n = 3$।
Q8 मान ज्ञात कीजिए: $(0.25)^4 \times 4^4$
हल देखें
हल: $(0.25 \times 4)^4 = (1)^4 = 1$।
Q9 $\frac{(4a^2b^3)^2}{(2ab)^4}$ को सरल कीजिए।
हल देखें
हल: $\frac{16 a^4 b^6}{16 a^4 b^4} = b^2$ ($a, b \neq 0$)।
Q10 क्या $(a+b)^n = a^n + b^n$ सत्य है?
हल देखें
हल: नहीं, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \neq a^2 + b^2$। घात जोड़ पर वितरित नहीं होती।
05
अवधारणा 5: शून्य घातांक ($a^0 = 1$) की उपपत्ति एवं $0^0$ का रहस्य
Proof of Zero Exponent and the Mystery of Indeterminate $0^0$
$$a^0 = 1 \quad (\text{जहाँ } a \neq 0)$$
$$\text{उपपत्ति: } \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{तथा} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1 \implies a^0 = 1$$
⚠️ $0^0$ का रहस्य (The Indeterminate Form):
यदि $a = 0$ हो, तो $\frac{0^n}{0^n} = \frac{0}{0}$ बनता है, जो गणित में अपरिभाषित / अनिर्धार्य (Indeterminate) है।अतः $0^0$ का कोई एक निश्चित संख्यात्मक मान नहीं होता।
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 5):
Q1 मान ज्ञात कीजिए: $5^0 + 7^0 + 9^0$
हल देखें
हल: $1 + 1 + 1 = 3$।
Q2 मान ज्ञात कीजिए: $(5 + 7 + 9)^0$
हल देखें
हल: $(21)^0 = 1$।
Q3 मान ज्ञात कीजिए: $\frac{3^0 \times 4^0 \times 5^0}{6^0 + 7^0}$
हल देखें
हल: $\frac{1 \times 1 \times 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$।
Q4 सरल कीजिए: $(2^0 + 3^0) \times 5^2$
हल देखें
हल: $(1 + 1) \times 25 = 50$।
Q5 सरल कीजिए: $(8^0 - 2^0) \times (8^0 + 2^0)$
हल देखें
हल: $(1 - 1) \times (1 + 1) = 0 \times 2 = 0$।
Q6 यदि $(x-3)^0 = 1$ हो, तो $x$ की क्या शर्त होगी?
हल देखें
हल: आधार अशून्य होना चाहिए: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$।
Q7 $-5^0$ और $(-5)^0$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $-5^0 = -(1) = -1$ तथा $(-5)^0 = 1$।
Q8 मान ज्ञात कीजिए: $\frac{(2026)^0 + (100)^0}{(50)^0 - (25)^0}$
हल देखें
हल: हर $= 1 - 1 = 0$। शून्य से विभाजन अपरिभाषित (Undefined) है।
Q9 यदि $3^{2x-6} = 1$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: $3^{2x-6} = 3^0 \implies 2x - 6 = 0 \implies x = 3$।
Q10 क्या $0^{-5}$ का मान 0 होगा?
हल देखें
हल: नहीं, $0^{-5} = \frac{1}{0^5} = \frac{1}{0}$ जो कि अपरिभाषित है।
06
अवधारणा 6: ऋणात्मक घातांक का नियम एवं $-a^n$ बनाम $(-a)^n$ का अंतर
Negative Exponents, Reciprocal Rules & Sign Conventions
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{तथा} \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \quad (a, b \neq 0)$$
$$(-a)^n = \begin{cases} +a^n, & \text{यदि } n \text{ सम (Even) है} \\ -a^n, & \text{यदि } n \text{ विषम (Odd) है} \end{cases}$$
⚠️ $-a^2$ बनाम $(-a)^2$ का अंतर:
$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9$
$-(-3)^2 = -(+9) = -9$
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 6):
Q1 मान ज्ञात कीजिए: $3^{-3}$
हल देखें
हल: $\frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$।
Q2 मान ज्ञात कीजिए: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}$
हल देखें
हल: $(3/2)^4 = \frac{81}{16}$।
Q3 सरल कीजिए: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$
हल देखें
हल: $3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$।
Q4 मान ज्ञात कीजिए: $-2^4 + (-2)^4$
हल देखें
हल: $-16 + 16 = 0$।
Q5 मान ज्ञात कीजिए: $(-1)^{100} + (-1)^{101} + (-1)^{2024} + (-1)^{2025}$
हल देखें
हल: $1 - 1 + 1 - 1 = 0$।
Q6 सरल कीजिए: $\frac{2^{-1} \times 3^{-1}}{6^{-2}}$
हल देखें
हल: $\frac{1/6}{1/36} = \frac{36}{6} = 6$।
Q7 यदि $\left(\frac{3}{5}\right)^3 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{-6} = \left(\frac{3}{5}\right)^{2x-1}$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: $-3 = 2x - 1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$।
Q8 सरल कीजिए: $\left[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} \right]^2$
हल देखें
हल: $(-2/3)^{-4} = (-3/2)^4 = \frac{81}{16}$।
Q9 $\frac{a^{-2}b^{-3}}{a^{-5}b^2}$ को धनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल देखें
हल: $a^{-2 - (-5)} b^{-3-2} = a^3 b^{-5} = \frac{a^3}{b^5}$।
Q10 क्या $2^{-3} = -8$ सत्य है?
हल देखें
हल: नहीं, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = +0.125$। घातांक का ऋण संख्या को ऋणात्मक नहीं बनाता।
07
अवधारणा 7: मानक रूप / वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation)
Standard Form and Scientific Notation for Large & Small Numbers
$$k \times 10^n \quad (\text{जहाँ } 1 \le k < 10 \text{ तथा } n \in \mathbb{Z})$$
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 7):
Q1 $149,600,000,000$ मी (सूर्य से पृथ्वी की दूरी) को मानक रूप में लिखिए।
हल देखें
उत्तर: $1.496 \times 10^{11}$ मीटर।
Q2 $0.000007$ मी (कोशिका का आकार) को मानक रूप में लिखिए।
हल देखें
उत्तर: $7 \times 10^{-6}$ मीटर।
Q3 $0.00000000000000000016$ C को मानक रूप में लिखिए।
हल देखें
उत्तर: $1.6 \times 10^{-19}$ कूलाम्ब।
Q4 $3.84 \times 10^8$ मी को सामान्य संख्या रूप में लिखिए।
हल देखें
उत्तर: $384,000,000$ मीटर।
Q5 $4.5 \times 10^{-5}$ को सामान्य रूप में लिखिए।
हल देखें
उत्तर: $0.000045$।
Q6 तुलना कीजिए: $2.7 \times 10^{12}$ और $1.5 \times 10^8$ में कौन बड़ा है?
हल देखें
उत्तर: $10^{12} > 10^8$, अतः $2.7 \times 10^{12}$ बड़ा है।
Q7 जोड़िए: $(3.2 \times 10^4) + (5.8 \times 10^3)$
हल देखें
हल: $3.2 \times 10^4 + 0.58 \times 10^4 = 3.78 \times 10^4$।
Q8 गुणा कीजिए: $(4 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^9)$
हल देखें
हल: $20 \times 10^3 = 2.0 \times 10^4$।
Q9 1 माइक्रोन $= \frac{1}{1000000}$ मी को मानक रूप में लिखिए।
हल देखें
उत्तर: $1 \times 10^{-6}$ मीटर।
Q10 कागज की मोटाई $0.0016$ सेमी को मानक रूप में लिखिए।
हल देखें
उत्तर: $1.6 \times 10^{-3}$ सेमी।
08
अवधारणा 8: परिमेय घातांक एवं मूल (Rational Exponents & Roots)
Fractional Exponents, Principal $n$-th Root and Real Number Boundaries
$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \quad \text{तथा} \quad a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$
$$\text{सीमा: } \text{यदि } n \text{ सम है, तो } a \ge 0 \text{ होना अनिवार्य है (अन्यथा मान काल्पनिक होगा)।}$$
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 8):
Q1 मान ज्ञात कीजिए: $(64)^{1/2}$
हल देखें
हल: $\sqrt{64} = 8$।
Q2 मान ज्ञात कीजिए: $(125)^{1/3}$
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हल: $\sqrt[3]{125} = 5$।
Q3 मान ज्ञात कीजिए: $(32)^{2/5}$
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हल: $(2^5)^{2/5} = 2^2 = 4$।
Q4 मान ज्ञात कीजिए: $(16)^{-3/4}$
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हल: $(2^4)^{-3/4} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$।
Q5 मान ज्ञात कीजिए: $(-27)^{2/3}$
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हल: $[(-3)^3]^{2/3} = (-3)^2 = +9$।
Q6 सरल कीजिए: $2^{2/3} \times 2^{1/3}$
हल देखें
हल: $2^{2/3 + 1/3} = 2^1 = 2$।
Q7 सरल कीजिए: $\frac{11^{1/2}}{11^{1/4}}$
हल देखें
हल: $11^{1/2 - 1/4} = 11^{1/4}$।
Q8 सरल कीजिए: $(7^{1/2}) \times (8^{1/2})$
हल देखें
हल: $(56)^{1/2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$।
Q9 मान ज्ञात कीजिए: $\left(\frac{81}{16}\right)^{-3/4}$
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हल: $(16/81)^{3/4} = [(2/3)^4]^{3/4} = (2/3)^3 = \frac{8}{27}$।
Q10 क्या $(-16)^{1/4}$ एक वास्तविक संख्या है?
हल देखें
हल: नहीं, ऋणात्मक संख्या का सम मूल वास्तविक संख्या नहीं होता (यह सम्मिश्र संख्या है)।
09
अवधारणा 9: करणी की परिभाषा, कोटि, करणीगत एवं प्रकार
Definition of Surds, Order, Radicand, Pure, Mixed, Like & Unlike Surds
$$\sqrt[n]{a} \quad (\text{जहाँ } a \in \mathbb{Q}^+, n \in \mathbb{N}, n \ge 2 \text{ तथा मान अपरिमेय हो})$$
$$\text{करणीगत (Radicand)} = a, \quad \text{कोटि (Order)} = n, \quad \text{चिह्न} = \sqrt{\phantom{x}}$$
⚠️ स्वर्णिम नियम (Golden Rule):
सभी करणी अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, परंतु सभी अपरिमेय संख्याएँ करणी नहीं होतीं!- $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt[3]{5}$ $\to$ करणी हैं (क्योंकि 2, 3, 5 परिमेय हैं)।
- $\pi, e$ $\to$ अपरिमेय हैं, परंतु करणी नहीं हैं।
- $\sqrt{25} = 5$ $\to$ परिमेय है, अतः करणी नहीं है।
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 9):
Q1 $\sqrt[3]{16}$ में कोटि (Order) और करणीगत (Radicand) बताइए।
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उत्तर: कोटि $= 3$, करणीगत $= 16$।
Q2 क्या $\sqrt{25}$ एक करणी है?
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उत्तर: नहीं, क्योंकि $\sqrt{25} = 5$ (परिमेय संख्या) है।
Q3 $3\sqrt{5}$ को शुद्ध करणी (Pure Surd) में बदलिए।
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हल: $\sqrt{3^2 \times 5} = \sqrt{45}$।
Q4 $\sqrt{72}$ को सरलतम मिश्र करणी में बदलिए।
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हल: $\sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$।
Q5 $2\sqrt[3]{3}$ को शुद्ध करणी में बदलिए।
हल देखें
हल: $\sqrt[3]{2^3 \times 3} = \sqrt[3]{24}$।
Q6 पहचानिए कि $2\sqrt{3}$ और $5\sqrt{3}$ सजातीय हैं या विजातीय?
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उत्तर: कोटि व करणीगत समान हैं, अतः ये सजातीय करणी (Like Surds) हैं।
Q7 पहचानिए कि $\sqrt{2}$ और $\sqrt[3]{2}$ सजातीय हैं या विजातीय?
हल देखें
उत्तर: कोटि भिन्न (2 और 3) होने के कारण ये विजातीय करणी (Unlike Surds) हैं।
Q8 क्या $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ एक द्विपद करणी (Binomial Surd) है?
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उत्तर: हाँ, दो पदों का योग जिसमें करणी शामिल हो, द्विपद करणी है।
Q9 $\sqrt[4]{32}$ का सरलतम रूप क्या होगा?
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हल: $\sqrt[4]{16 \times 2} = 2\sqrt[4]{2}$।
Q10 क्या $\pi$ एक करणी है?
हल देखें
उत्तर: नहीं, $\pi$ अबीजीय अपरिमेय संख्या है, यह करणी नहीं है।
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अवधारणा 10: करणियों की संक्रियाएँ एवं तुलना
Operations (Add/Sub/Mul/Div) and Comparison of Surds (LCM Method)
$$a\sqrt[n]{x} \pm b\sqrt[n]{x} = (a \pm b)\sqrt[n]{x} \quad (\text{केवल सजातीय करणी जुड़ती/घटती हैं})$$
$$\text{तुलना विधि: } \text{कोटियों का LCM लेकर सभी करणियों को समान कोटि में बदलें।}$$
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 10):
Q1 सरल कीजिए: $4\sqrt{3} + 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
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हल: $(4+7-2)\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$।
Q2 सरल कीजिए: $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$
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हल: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$।
Q3 गुणा कीजिए: $\sqrt{6} \times \sqrt{15}$
हल देखें
हल: $\sqrt{90} = 3\sqrt{10}$।
Q4 गुणा कीजिए: $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3}$
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हल: कोटि 6 में बदलने पर: $\sqrt[6]{8} \times \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{72}$।
Q5 $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{4}$ में सबसे बड़ा कौन है?
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हल: कोटि 12 करें: $\sqrt{2} = \sqrt[12]{64}$, $\sqrt[3]{3} = \sqrt[12]{81}$, $\sqrt[4]{4} = \sqrt[12]{64}$।
अतः सबसे बड़ा $\sqrt[3]{3}$ है।
अतः सबसे बड़ा $\sqrt[3]{3}$ है।
Q6 $\sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{6}, \sqrt[6]{15}, \sqrt[12]{245}$ को आरोही क्रम में लिखिए।
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हल: $\sqrt[12]{216} < \sqrt[12]{225} < \sqrt[12]{245} < \sqrt[12]{256} \implies \sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15} < \sqrt[12]{245} < \sqrt[3]{4}$।
Q7 भाग दीजिए: $\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}$
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हल: $\sqrt[3]{64} = 4$।
Q8 मान ज्ञात कीजिए: $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})$
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हल: $(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 12 - 18 = -6$।
Q9 सरल कीजिए: $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$
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हल: $5 + 2 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10}$।
Q10 क्या $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ सत्य है?
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हल: नहीं, विजातीय करणियों को सीधे नहीं जोड़ा जा सकता। $\sqrt{2}+\sqrt{3} \approx 1.414+1.732=3.146 \neq 2.236$।
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अवधारणा 11: हर का परिमेयकरण एवं द्विपद करणी का वर्गमूल
Rationalization of Denominators, Conjugate Surds & Square Root of Binomial Surds
$$\frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b}$$
$$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \quad (\text{जहाँ } x+y=a, xy=b)$$
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 11):
Q1 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल देखें
हल: $\frac{\sqrt{7}}{7}$।
Q2 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल देखें
हल: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$।
Q3 $\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ को सरल कीजिए।
हल देखें
हल: $\frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$।
Q4 यदि $x = 3 + 2\sqrt{2}$ हो, तो $x + \frac{1}{x}$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $1/x = 3 - 2\sqrt{2} \implies x + 1/x = 6$।
Q5 यदि $x = 3 + 2\sqrt{2}$ हो, तो $x^2 + \frac{1}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: $6^2 - 2 = 34$।
Q6 $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: $\sqrt{7 + 2\sqrt{12}} \implies x+y=7, xy=12 \implies x=4, y=3 \implies 2 + \sqrt{3}$।
Q7 $\sqrt{10 - \sqrt{84}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} \implies \sqrt{7} - \sqrt{3}$।
Q8 यदि $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = a + b\sqrt{3}$ हो, तो $a$ और $b$ क्या होंगे?
हल देखें
हल: $\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \implies a = 2, b = -1$।
Q9 $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) = \sqrt{4} - 1 = 1$।
Q10 $\sqrt[3]{2}$ का परिमेयकारी गुणक (RF) क्या होगा?
हल देखें
हल: $\sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$।
12
अवधारणा 12: घातांकीय समीकरण एवं अनंत करणी श्रृंखलाएँ
Exponential & Radical Equations, Infinite Nested Radicals & Competition Short-Tricks
$$a^x = a^y \implies x = y \quad (a \neq 0, 1, -1)$$
$$\sqrt{x\sqrt{x\dots\infty}} = x, \quad \sqrt{x\sqrt{x\dots n \text{ बार}}}} = x^{\frac{2^n-1}{2^n}}$$
$$\sqrt{x \pm \sqrt{x \pm \dots\infty}} = \frac{\pm 1 + \sqrt{1+4x}}{2}$$
🎯 10 हल सहित अभ्यास प्रश्न (Practice Set 12):
Q1 यदि $2^{x-1} + 2^{x+1} = 320$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: $2^x(1/2 + 2) = 320 \implies 2^x(5/2) = 320 \implies 2^x = 128 = 2^7 \implies x = 7$।
Q2 मान ज्ञात कीजिए: $\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots\infty}}}$
हल देखें
उत्तर: $7$।
Q3 मान ज्ञात कीजिए: $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}$ (4 बार)
हल देखें
हल: $2^{\frac{16-1}{16}} = 2^{15/16}$।
Q4 मान ज्ञात कीजिए: $\sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \dots\infty}}}$
हल देखें
हल: $12 = 3 \times 4$। जोड़ ($+$) होने के कारण बड़ा मान $= 4$।
Q5 मान ज्ञात कीजिए: $\sqrt{42 - \sqrt{42 - \sqrt{42 - \dots\infty}}}$
हल देखें
हल: $42 = 6 \times 7$। घटाव ($-$) होने के कारण छोटा मान $= 6$।
Q6 यदि $\sqrt{5 + \sqrt{5 + \dots\infty}} = y$ हो, तो $y$ का सटीक मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $y^2 - y - 5 = 0 \implies y = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$।
Q7 यदि $3^{x+y} = 81$ और $81^{x-y} = 3$ हो, तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
हल देखें
हल: $x+y=4$ और $4(x-y)=1 \implies x-y=0.25 \implies x = \frac{17}{8}, y = \frac{15}{8}$।
Q8 यदि $2^x = 3^y = 6^{-z}$ हो, तो $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ का मान क्या होगा?
हल देखें
हल: $2 = k^{1/x}, 3 = k^{1/y}, 6 = k^{-1/z}$। $2 \times 3 = 6 \implies 1/x + 1/y = -1/z \implies 1/x + 1/y + 1/z = 0$।
Q9 यदि $x = \sqrt{3\sqrt{3\dots}}$ और $y = \sqrt{6 + \sqrt{6\dots}}$ हो, तो $x - y$ क्या होगा?
हल देखें
हल: $x = 3, y = 3 \implies 3 - 3 = 0$।
Q10 यदि $x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए ($x \neq 0, 1$)।
हल देखें
हल: $x^{\sqrt{x}} = x^{x/2} \implies \sqrt{x} = x/2 \implies x = x^2/4 \implies x = 4$।
⚠️
छात्रों और शिक्षकों की 10 सबसे बड़ी गलतियाँ (Top 10 Traps & Blindspots)
परीक्षाओं में सबसे अधिक अंक कटवाने वाले 10 प्रमुख भ्रांति बिंदु
- $a^0 = 1$ की सीमा भूलना: $0^0$ का मान 1 नहीं होता; यह अनिर्धार्य (Indeterminate) है।
- $-a^2$ और $(-a)^2$ का अंतर: $-3^2 = -9$ होता है, जबकि $(-3)^2 = +9$ होता है।
- घात पर घात बनाम टॉवर: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ होता है, जबकि $2^{3^2} = 2^9 = 512$ होता है।
- जोड़ में घातांक जोड़ना: $x^2 + x^3 \neq x^5$ (गुणा में घातांक जुड़ते हैं, जोड़ में केवल कॉमन लिया जाता है)।
- करणी के जोड़ का भ्रम: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ (उदा. $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4=7$, जबकि $\sqrt{25}=5$)।
- $\sqrt{x^2}$ का मान: $\sqrt{x^2} = |x|$ होता है (उदा. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = +5$, न कि $-5$)।
- अऋणात्मक आधार की शर्त: $(-4)^{1/2}$ वास्तविक संख्या नहीं है ($2i$ काल्पनिक संख्या है)।
- सम्मिश्र संख्याओं का गुणन ट्रैप: $\sqrt{-4} \times \sqrt{-9} \neq \sqrt{36} = 6$ (वास्तव में $2i \times 3i = 6i^2 = -6$)।
- भिन्न आधार पर घातांक जोड़ना: $2^3 \times 3^3 \neq 6^6$ (यह $(2 \times 3)^3 = 6^3 = 216$ होगा)।
- ऋणात्मक घातांक का चिन्ह: $2^{-3} = -8$ मान लेना गलत है; $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = +0.125$ होता है।
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