BPSC TRE 1.0 TGT Math Q.71 | Triangle Bisector Theorem Solved PYQ & 7-in-1 Study Node

🏛️ TRE 1.0 📐 TGT गणित 🔺 ज्यामिति Series A • Q.71

71. यदि किसी त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक, विपरीत भुजा को समद्विभाजित करता है, तो त्रिभुज है:

71. If the bisector of an angle of a triangle bisects the opposite side, then the triangle is:

समबाहु (Equilateral)

समकोण (Right angled)

समद्विबाहु (Isosceles)

उपर्युक्त में से एक से अधिक (More than one of the above)

उपर्युक्त में से कोई नहीं (None of the above)

💡 डिजिटल बोर्ड विस्तृत हल (Step-by-Step Mathematical Proof)

आधिकारिक सही उत्तर: विकल्प (C) समद्विबाहु (Isosceles)

📌 कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem):
किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक, सम्मुख भुजा को शेष दोनों भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

माना कि त्रिभुज $\triangle ABC$ में शीर्ष $A$ का कोण समद्विभाजक $AD$, सम्मुख भुजा $BC$ को बिंदु $D$ पर मिलता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार: $$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$$

चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि कोण समद्विभाजक $AD$, विपरीत भुजा $BC$ को समद्विभाजित करता है:
$$\therefore BD = DC \implies \frac{BD}{DC} = 1$$ समीकरण में मान रखने पर: $$\frac{AB}{AC} = 1 \implies AB = AC$$

चूंकि त्रिभुज $ABC$ की दो भुजाएं ($AB$ और $AC$) परस्पर समान हैं, अतः यह त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) है।

⚡ 30-सेकंड एग्जाम शॉर्टकट (Option Elimination Trick):

समबाहु त्रिभुज (Equilateral) में तीनों कोणों के समद्विभाजक सम्मुख भुजाओं को समद्विभाजित करते हैं, परंतु प्रश्न में केवल "एक कोण" की बात की गई है। अतः न्यूनतम आवश्यक शर्त केवल 2 भुजाओं के बराबर होने की है $\implies$ समद्विबाहु (Isosceles)।

🎯 समानांतर अभ्यास प्रश्न (Parallel Concept Clones for 100% Mastery)

केवल उत्तर रटने के बजाय कॉन्सेप्ट की गहरी समझ हेतु संख्यात्मक रूप से बदले गए प्रश्न:

प्रैक्टिस क्लोन 1: त्रिभुज $PQR$ में $\angle P$ का समद्विभाजक भुजा $QR$ को बिंदु $S$ पर काटता है। यदि $PQ = 8\text{ cm}$, $PR = 12\text{ cm}$ और $QS = 4\text{ cm}$ हो, तो $SR$ की लम्बाई क्या होगी?

(A) $4\text{ cm}$ • (B) $6\text{ cm}$ • (C) $8\text{ cm}$ • (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक • (E) कोई नहीं

हल देखें (Click to reveal solution)

$$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR} \implies \frac{8}{12} = \frac{4}{SR} \implies 8 \cdot SR = 48 \implies SR = 6\text{ cm} \text{ (उत्तर B)}$$

प्रैक्टिस क्लोन 2: किसी त्रिभुज में यदि शीर्ष लंब (Altitude) और कोण समद्विभाजक (Angle Bisector) एक ही रेखा हो, तो वह त्रिभुज अनिवार्य रूप से क्या होगा?

(A) विषमबाहु • (B) समद्विबाहु • (C) केवल समकोण • (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक • (E) कोई नहीं

हल देखें (Click to reveal solution)

यदि शीर्ष लंब ही कोण समद्विभाजक है, तो सर्वांगसमता ($\triangle ABD \cong \triangle ACD$) से $AB = AC$ सिद्ध होता है $\implies$ समद्विबाहु त्रिभुज (उत्तर B)।

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